¿Oximorónico? Nada de eso… ¡pura matemática!

Por Andy el 27/Ene/2007

ADVERTENCIA: Si usted no ha llevado nunca ningún tipo de Cálculo diferencial o integral puede que el siguiente ejercicio le deje… confundido. De todas formas, el contenido es lógico y la conclusión SÍ QUE ES PECULIAR.

Y completamente cierta.

Encuentre el volumen de la esfera x² + y² + z² = 4 por medio de una integral triple.

8∫∫∫(√(4-x²-y²) dz dy dx)

El límite inferior de z es 0 y el superior es √(4-x²-y²).

El límite inferior de y es 0 y el superior es √(4-x²).

El límite inferior de x es 0 y el superior es 2.

Como la integral esa se pone peluda, lo mejor es cambiar el sistema de coordenadas utilizado. Así, en vez de utilizar el cartesiano, donde las variables utilizadas son (x, y, z), utilizaremos el sistema de coordenadas esféricas, donde las variables utilizadas son (ρ, θ, φ)

Reescribiendo la triple integral:

2∫∫∫(ρ²sin(φ) dρ dφ dθ)

El límite inferior de ρ es 0 y el superior es 2.

El límite inferior de φ es 0 y el superior es π.

El límite inferior de θ es 0 y el superior es 2π.

La respuesta es 33.51 o algo por el estilo pero eso pela. Lo interesante es lo siguiente: el cambio de coordenadas es, en general, una transformación lineal que uno le hace a la expresión original solamente para simplificarla, por lo tanto, no existe cambio alguno en el valor numérico que representa… ni en su concepto abstracto. Esto significa que tanto

8∫∫∫(√(4-x²-y²) dz dy dx)

como

2∫∫∫(ρ²sin(φ) dρ dφ dθ)

representan lo mismo: el volumen de una esfera. Pero, ¿cómo puede ser esto? Es decir, una esfera es una esfera. ¿Cómo es posible que ambas expresiones con variables tan distintas representen una esfera en el espacio?

Pues la respuesta es simple: ambas la representan en el espacio pero con marcos de referencia distintos.

Ahora bien. Si nosotros tomamos un plano cartesiano tridimencional cualquiera:

Reemplazan x por ρ, y por φ y z por θ y luego grafican la expresión 2∫∫∫(ρ²sin(φ) dρ dφ dθ) en ese plano (recuerden, están graficando una esfera) lo que les aparece es un cubo.

Así es: un CUBO. C-U-B-O. Esa cosa que se parece al GameCube a un dado.

Por lo tanto, lo que acaban de ver ustedes es cómo se construye una ESFERA CÚBICA.